Codeforces 高效会议问题详解：贪心算法与优先级队列

高效会议问题要点

问题目标：最大化会议中人们交谈的次数。

核心思想：利用贪心算法，优先让能交谈次数多的人参与交谈。

数据结构：使用优先级队列（堆）来动态维护能交谈次数最多的人。

算法流程：每次从优先级队列中取出能交谈次数最多的两个人，让他们交谈，然后更新他们的交谈次数，如果更新后的交谈次数仍然大于0，则重新放入优先级队列。

C++实现：使用 std::priority_queue 实现优先级队列，并使用 pair 存储交谈次数和人员索引。

深入理解高效会议问题

高效会议问题描述

高效会议问题描述如下：给定 n 个人，每个人都有一个交谈能力值 a[i]，表示第 i 个人最多能交谈 a[i] 次。每次会议中，任意两个人可以交谈一次，交谈后，这两个人的交谈能力值都减 1。目标是最大化会议中人们交谈的总次数。这个问题可以看作是一个资源分配问题，我们需要合理地分配每个人的交谈能力，使得总的交谈次数最大化。关键在于如何选择每次会议中参与交谈的两个人。如果选择不当，可能会导致某些人的交谈能力被浪费，从而降低总的交谈次数。因此，我们需要一个策略来指导我们的选择。

问题可以抽象成图论模型，其中每个人代表图中的一个节点，每个人的交谈能力值代表节点的权重。目标是在图中选择边，使得边的权重之和最大，同时满足每个节点的权重限制。这个问题是 NP-hard 问题，不存在多项式时间的最优解法。但是，我们可以使用贪心算法来寻找近似最优解。例如，假设有三个人A、B、C，他们的交谈次数分别为1、2、3，目标是如何搭配他们进行交谈使得总交谈次数最大。

贪心算法的核心思想

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。贪心算法的特点是简单高效，但并不能保证得到全局最优解。对于高效会议问题，贪心算法的核心思想是：每次选择能交谈次数最多的两个人参与交谈。 这样做的理由是，能交谈次数越多的人，他们的交谈能力越有可能被浪费。优先让他们参与交谈，可以尽可能地利用他们的交谈能力，从而提高总的交谈次数。为了实现这个贪心策略，我们需要一种数据结构来动态维护能交谈次数最多的人。优先级队列（堆）就是一种非常适合的数据结构。优先级队列可以保证每次取出的元素都是当前队列中优先级最高的元素。对于这个问题，我们可以使用最大堆，每次取出堆顶的两个元素，让他们交谈，然后更新他们的交谈次数，如果更新后的交谈次数仍然大于 0，则重新放入堆中。重复这个过程，直到堆中少于两个人为止。这种贪心策略虽然不能保证得到最优解，但在大多数情况下，都能得到一个非常接近最优解的解。并且，由于优先级队列的插入和删除操作的时间复杂度都是 O(log n)，因此，这种贪心算法的时间复杂度也是 O(n log n)，具有较高的效率。

C++ 实现高效会议解决方案

利用优先级队列优化算法

C++ 提供了 std::priority_queue 容器，可以方便地实现优先级队列。下面是使用 C++ 实现高效会议问题的代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n;  //人数
    cin >> n;
    priority_queue<pair<int, int>> pq; // 交谈次数和人员索引
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x; //交谈次数
        cin >> x;
        if (x > 0) {
            pq.push({x, i});
        }
    }
    vector<pair<int, int>> ans; // 存储结果
    while (pq.size() >= 2) {
        auto f = pq.top();  //交谈次数最多的成员
        pq.pop();
        auto s = pq.top();  //交谈次数第二多的成员
        pq.pop();
        ans.push_back({f.second, s.second});  //存储这两个成员
        f.first--;
        s.first--;
        if (f.first > 0) {
            pq.push(f);
        }
        if (s.first > 0) {
            pq.push(s);
        }
    }
    cout << ans.size() << endl;  //输出最大次数
    for (auto& p : ans) {
        cout << p.first << " " << p.second << endl;  //输出成员
    }
    return 0;
}

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这段代码首先读入人数 n，然后读入每个人的交谈能力值，并将交谈能力值大于 0 的人放入优先级队列中。注意，这里使用了 pair 来存储交谈能力值和人员索引，这样可以在优先级队列中同时维护这两个信息。然后，代码进入一个 while 循环，每次从优先级队列中取出堆顶的两个元素，让他们交谈，并将结果存储在 ans 向量中。更新这两个人的交谈能力值，如果更新后的交谈能力值仍然大于 0，则重新放入堆中。最后，代码输出总的交谈次数和每次会议中参与交谈的两个人。

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文章来源：http://www.jingmeijuzi.com/2025/1220/417.shtml